Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Материалы к лекционному курсу
Лектор – ст. преп. Щербаков И.Н.

Приближенные числа

Пусть X – некоторая величина, истинное значение которой известно или неизвестно и равно x*. Число x, которое можно принять за значение величины X, мы будем называть ее приближенным значением или просто приближенным числом. Число x называют приближенным значением по недостатку, если оно меньше истинного значения (x < x* ), и по избытку, если оно больше (x > x* ). Например, число 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 2,72 – приближенным значением числа е по избытку.

Абсолютная погрешность приближенного числа есть абсолютная величина разности между истинным значением величины и данным ее приближенным значением.

            Δx = |x* – x|

Поскольку истинное значение величины обычно остается неизвестным, неизвестной остается также и абсолютная погрешность. Вместо нее приходится рассматривать оценку абсолютной погрешности, так называемою предельную абсолютную погрешность, которая означает число, не меньшее абсолютной погрешности (далее, в том случае, если это не принципиально, будем под абсолютной погрешностью понимать именно предельную абсолютную погрешность).

Абсолютная погрешность приближенного числа не в полной мере характеризует его точность. Действительно, погрешность в 0,1 г слишком велика при взвешивании реактивов для проведения микро-синтеза, допустима при взвешивании 100 г колбасы,  и не может быть замечена при измерении массы, например, железнодорожного вагона. Более информативным показателем точности приближенного числа является его относительная погрешность.

Относительной погрешностью δx приближенного значения величины X называют абсолютную величину отношения его абсолютной погрешности к истинному значению этой величины. Часто эту относительную погрешность выражают в процентах. C учетом положительности абсолютной погрешности можно записать:

            δx =Δx / |x* |

Ввиду того, что фактически вместо абсолютной погрешности приходится рассматривать предельную, относительную погрешность также заменяют предельной относительной погрешностью, которая означает число, не меньшее относительной погрешности. Более того, при отыскании предельной относительной погрешности приходится заменять неизвестное истинное значение величины x*  приближенным – x. Последняя замена обычно не отражается на величине относительной погрешности ввиду близости этих значений и малости абсолютной погрешности.

            δx =Δx / |x |

Например, для приближенного значения π = 3,14 предельная абсолютная погрешность составляет 0,0016, а относительная – 0,00051 или 0,051%. Выражение относительной погрешности в процентах иногда называют процентной погрешностью.

Правила записи приближенных чисел

Приближенные числа принято записывать таким образом, чтобы форма записи числа указывала на его абсолютную погрешность, которая не должна превосходить половины единицы последнего разряда, сохраняемого при записи. Например, запись 3,1416 означает, что абсолютная погрешность этого приближенного числа не превосходит 0,00005. Для числа 370 абсолютная погрешность не превосходит 0,5. Если это число имеет большую точность, например если абсолютная погрешность меньше 0,05, то следует писать уже не 370, а 370,0. Таким образом, приближенные числа 37•101; 370; 370,0; 370,00 имеют различную степень точности: их предельные абсолютные погрешности составляют соответственно 5; 0,5; 0,05 и 0,005.

Для больших чисел абсолютные погрешности могут иметь порядок единиц, десятков, сотен и т. п. Сохраняя и для таких чисел упомянутое выше правило, не следует выписывать все его цифры. Так, число двести семьдесят пять тысяч с абсолютной погрешностью, не превосходящей 500, надо писать в виде 275•103. Запись вида 275 000 применять нельзя, ибо она означала бы предельную абсолютную погрешность 0,5.

Если абсолютная погрешность величины Х не превышает одной единицы разряда последней цифры приближенного числа х, то говорят, что у числа  х  все знаки верные. Цифры числа, соответствующие разрядам, меньшим чем абсолютная погрешность называют сомнительными.

Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 12400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 124•102 или 0,124•105. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчете значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа. Например, в числе 0,0645 – 3 значащие цифры, а у числа 34,5400 – 6 значащих цифр.

Высказанные правила записи приближенных чисел применяются для записи исходных данных, полученных в результате измерений, и в математических таблицах. Абсолютная погрешность при этом не выписывается, и всегда предполагается, что она не превосходит половины единицы последнего разряда, сохраняемого при записи. В указанной форме записи все цифры, таким образом, являются верными.

В окончательных результатах расчета принято записывать числа с одной сомнительной цифрой (т. е. сохраняя следующую за верной). При этом следует указывать предельную абсолютную погрешность, выписывая ее с одной значащей цифрой, если это цифра 2, 3,... 9, либо двумя, если эта цифра 1 Для этого погрешность округления числа прибавляют к предельной абсолютной погрешности и результат округляют в сторону увеличения ). 

Округление приближенных чисел

Если приближенное число содержит лишние (или сомнительные) знаки, то его следует округлить, отбрасывая излишние цифры и руководствуясь следующим известным правилом округления: если первая из отброшенных цифр 4 или меньше, то последняя оставшаяся цифра сохраняется без изменения; если первая из отброшенных цифр 5 или больше, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу. Исключением из этого правила является случай, когда отбрасывается только пятерка или же пятерка с нулями. Здесь принято сохранять последнюю оставшуюся цифру без изменения, если она четная, и увеличивать ее на единицу до четной, если она была нечетная.

При проведении вычислений рекомендуется сохранять максимальное число значащих цифр для всех промежуточных результатов. Округляется только конечный результат в соответствии с оцененной предельной абсолютной погрешностью.  Если погрешность результата не оценивается, то можно руководствоваться следующими общими правилами округления результатов действий:

1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.

3. При возведении в квадрат или куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближённое число ( последняя цифра квадрата и особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания ).

4. При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое значение подкоренного числа (последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надёжна, чем последняя цифра подкоренного числа).

Абсолютная и относительная погрешность вычисления
функции одной переменной

Важной проблемой при проведении вычислений с использованием приближенных чисел является вопрос о влиянии погрешности исходных данных на погрешность полученного результата. Установим основные свойства распространения абсолютной и относительной погрешности. Для начала рассмотрим случай вычисления функции одного аргумента, который является приближенным числом. Решение этих задач дается следующей основной теоремой.

Теорема. Предельная абсолютная погрешность вычисления функции равна произведению абсолютной величины ее производной на предельную абсолютную погрешность аргумента.

Доказательство. Пусть число x является приближенным значением величины X с абсолютной погрешностью Δx.

, или можно записать , если считать, что величина Δx является знаковой, то есть, может быть как положительным, так и отрицательным числом, потому что x может быть приближением как по недостатку, так и по избытку. Обозначим абсолютную погрешность функции через  Δy

Ввиду малости Δx мы можем заменить приращение функции ее дифференциалом. Тогда получим

, откуда 

, что и требовалось доказать.

Рассмотрим относительную погрешность вычисления функции одной переменной. Обозначим предельную относительную погрешность аргумента через δx, а функции – δy, тогда, учитывая, что , получим

Так как по правилам дифференцирования сложной функции

, то полученное выражение можно записать так:

В таком виде выражение удобно для приложения к легко логарифмируемым функциям.

Рассмотрим, например, погрешность вычисления степенной функции:

, т. е. предельная относительная погрешность степени равна предельной относительной погрешности основания, умноженной на абсолютную величину показателя степени.

Абсолютная и относительная погрешность вычисления функции
нескольких переменных

Полученные результаты легко обобщаются на случай функций нескольких аргументов

Абсолютная погрешность результата вычисления функции нескольких приближенных чисел равна сумме произведений модуля частной производной функции на абсолютную погрешность приближенного числа.

Для относительной погрешности вычисления функции нескольких приближенных чисел получим выражение, так же аналогичное случаю функции одной переменной:

 

Абсолютная и относительная погрешность вычисления суммы и разности приближенных чисел

Рассмотрим   несколько   примеров   функций частного вида:

  , таким образом,  

т. е. предельная абсолютная погрешность как суммы, так и разности нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых. 

При определении относительной погрешности суммы и разности результаты будут различны.

Для суммы n положительных чисел относительная погрешность будет равна

Как видно, величина относительной погрешности в этом случае зависит не только от погрешностей слагаемых, но и от величины приближенных чисел. Можно воспользоваться следующими приемом для оценки границ относительной погрешности суммы.

Выберем из всех относительных погрешностей наибольшую

и тогда можно записать

Таким образом, предельная относительная погрешность суммы положительных чисел не превосходит максимальной относительной погрешности слагаемых, т.е. является оценкой сверху относительной погрешности суммы приближенных чисел.

Аналогично, если выбрать наименьшую из относительных погрешностей слагаемых, можно показать, что она будет являться оценкой снизу относительной погрешности суммы приближенных чисел.

Рассмотрим далее относительную погрешность вычисления разности двух приближенных чисел.

Как видно, из полученного результата, относительная погрешность разности может очень существенно (в пределе неограниченно) возрастать при вычитании двух близких по значению чисел

Пример

Рассмотрим вычисление массы образца как разности масс сосуда с образцом (x1) и пустого сосуда  (x2

      

Относительные погрешности примерно одинаковы и равны 0,04%.

 Найдем массу навески как разность двух чисел

Абсолютная погрешность  Таким образом, относительная погрешность результата составит 

, что в 250 (!!!!) раз выше относительной погрешности исходных чисел.

Абсолютная и относительная погрешность вычисления
произведения и частного приближенных чисел

Рассмотрим произведение нескольких приближенных чисел.

Воспользуемся общей формулой для относительной погрешности, в логарифмическом виде, полученной ранее. Для этого найдем натуральный логарифм функции и, затем, частные производные логарифма функции по всем xi.

,   для всех i   имеем ,

Поэтому, окончательно, получим:

То есть, предельная относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Для частного двух чисел вычисления будут аналогичными.

Находим натуральный логарифм и его частные производные

,

,

следовательно, предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Пример. При определении силы сопротивления квадратной пластинки, поставленной перпендикулярно к воздушному потоку, пользуются формулой

где Ρ — сила сопротивления, S — площадь пластинки, ν — скорость воздушного потока и k — коэффициент про­порциональности. Зная, что величина k определена с относительной погрешностью 5%, S и v — с относительными погрешностями 1%, определим относительную погрешность величины Р.

Согласно выражению для предельной относительной погрешности произведения имеем

, откуда

Итак, для оценки погрешности мы получили следующие простые правила:

При сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются

При умножении и делении относительные погрешности складываются;

При возведении в степень относительные погрешности умножаются на абсолютную величину показателя степени.

При отыскании значения функции абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной погрешности аргумента на абсолютную  величину производной

Заметим еще, что при вычислении значений функции абсолютная погрешность может существенным образом зависеть от того, каким образом записана расчетная формула и какова последовательность операций в этой формуле. Формулы для вычислений надо стараться преобразовывать к такому виду, чтобы в них не было вычитания близких величин; последнее может привести к большой потере точности и большим относительным ошибкам.

В начало страницы

Rambler's Top100 Рейтинг@Mail.ru